حساب التفاضل والتكامل أحد فروع الرياضيات. يقوم الطلاب بدراسته في الجامعات والمعاهد العليا بعد أن يكونوا قد تمكنوا من دراسة الجبر، والهندسة المستوية، وحساب المثلثات، والهندسة التحليلية. ويطلق علماء الرياضيات اسم حساب التفاضل والتكامل على هذا الفرع من الرياضيات لتمييزه عن طرق الحساب الأخرى.
يتعامل حساب التفاضل والتكامل مع الكميات المتغيرة. فعلى سبيل المثال، تخيل أن طائرة ما تطير بسرعة ثابتة مقدارها 1,000كم /ساعة. تقطع هذه الطائرة 1,000كم في ساعة واحدة و2,000كم في ساعتين و3,500كم في ثلاث ساعات ونصف. من الجبر نستطيع أن نستنبط القاعدة التالية التي تعطينا المسافة (ف) بالكيلومترات التي تقطعها الطائرة في زمن مقداره ن/ساعة: ف = 1,000ن. ولكن لنفرض الآن أن الطائرة لاتطير بسرعة ثابتة نتيجة لظروف الرياح وعوامل أخرى. عندئذ لن تبقى مسألة التنبؤ بالمسافة التي تقطعها الطائرة في أي فترة معينة من الزمن مسألة في الجبر، بل تصبح مسألة تحل بوساطة حساب التفاضل والتكامل.
نبذة تاريخية
ظهرت أولى أفكار حساب التفاضل والتكامل في أعمال الرياضي الإغريقي المشهور أرخميدس الذي قام بوضع العديد من القوانين في الهندسة، مثل حجم ومساحة سطح الكرة، مستخدماً في ذلك طرقا كانت بداية لتلك الطرق المستخدمة اليوم في حساب التكامل.
وفي القرنين السادس عشر والسابع عشر الميلاديين، شغل العديد من علماء الرياضيات بمسائل تتطلب حساب التفاضل والتكامل، حتى قام كل من إسحق نيوتن و غوتفريت لايـبنـيز ، كل على حدة، باكتشاف النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. وبسبب هذا الاكتشاف، يطلق عليهما اسم مؤسسي علم حساب التفاضل والتكامل.
لحساب التفاضل والتكامل فرعان رئيسيان هما:
- حساب التفاضل: القضية الأساسية في هذا النوع هي إيجاد معدل تغير كمية معلومة في حالة تغير.
- حساب التكامل: أما هنا فنبحث في القضية العكسية، أي نحاول إيجاد الكمية من معرفة المعدل الذي تتغير به.
على سبيل المثال، تخيل رجلاً يطوف في سفينة فضاء بالقرب من كوكب ليس له غلاف جوي. فإذا تركت كرة لتسقط من السفينة، فإنها ستقع في اتجاه الكوكب بسبب الجاذبية. وباستخدام آلاته، قد يجد الرجل أن المسافة ف التي تسقطها الكرة في ن ثانية من إطلاقها تعطى بالقاعدة: ف = 7 ن². ويلاحظ مثلاً أن الكرة تسقط مسافة 7 م في ثانية واحدة، و 28 م في ثانيتين، و 700 م في 10 ثوان. إن الكرة لاتسقط بسرعة ثابتة.
غير أن رجل الفضاء يرغب في معرفة سرعة الكرة في أية لحظة. وباستخدام حساب التفاضل، يستطيع أن يستنبط القاعدة: ع = 14 ن، حيث ع هي سرعة الكرة بالأمتار في الثانية بعد إسقاطها بمدة قدرها ن ثانية. ومن ثم، تكون سرعة الكرة 14 م في الثانية بعد ثانية واحدة، و 28 م في الثانية بعد ثانيتين، و140 م في الثانية بعد عشر ثوان. ومن القاعدة ع = 14 ن يستطيع رجل الفضاء أن يستنتج باستخدام حساب التفاضل ـ مرة أخرى ـ أن للكرة تسارعاً ثابتاً مقداره 14 م في الثانية، في الثانية (تكتب 14م/ثانية/ثانية) أي أنه في كل ثانية، تزيد سرعة الكرة 14متراً في الثانية (14م/ثانية).
ولو كان رجل الفضاء يعلم أن تسارع الكرة نتيجة لقوة الجاذبية هــو (14م/ثانية / ثانية)، لأمكنه باستـخـدام حسـاب التكامل أن يثبت أن القاعدة التي تعطي سرعة الكرة هي ع = 14 ن، وأن القاعدة التي تعطي المسافة التي تسقطها الكرة هي ف = 7 ن².
أهمية حساب التفاضل والتكامل
منذ نشوء وتطور حساب التفاضل والتكامل في القرن السابع عشر الميلادي، نما علم الرياضيات نمواً كبيراً وبخطوات واسعة. فقد تم استحداث طرق جديدة بوساطة حساب التفاضل والتكامل كان لها عظيم الأثر في تحفيز هذا النمو.
ويستخدم حساب التفاضل والتكامل في الفيزياء ومعظم فروع العلوم وجميع فروع الهندسة لإثبات النظريات، ولحل المسائل العلمية. فلكي يتمكن مصمم طائرات من تصميم جناح لطائرة، على سبيل المثال، فإنه يستخدم مبادئ الديناميكا الهوائية، أحد فروع الفيزياء. وبفضل المعادلات الرياضية، يستطيع معرفة ردود فعل الجناح تحت مختلف الظروف. وحساب التفاضل والتكامل هو الذي يزود المصمم بإمكانية استخلاص هذه المعادلات من مبادئ الديناميكا الهوائية.